На курсе вы изучите основы математического анализа, разовьёте способность логически мыслить и проводить математические доказательства. Рассмотрите математический аппарат, который будет необходим для изучения более сложных дисциплин, таких как дифференциальные уравнения и функциональный анализ, а также научитесь решать математические задачи и анализировать полученные результаты.
- Производные высших порядков
Производные высших порядков.Задача. Вычисление n-й производной с помощью метода математической индукции.Задача. Вычисление n-й производной.Задача. Вычисление n-й производной с помощью формулы Лейбница.
- Производная и дифференциал функции одной переменной
Понятие производной. Дифференцируемость.Свойства производной. Производная суперпозиции и обратной функции.Задача. Производная функции. Правила дифференцирования.Задача. Производная сложной функции 1.Задача. Производная сложной функции 2.Задача. Производная |x| и x^x.Задача. Производная неявной функции.Задача. Производная функции, заданной параметрически.Дифференциал функции.Задача. Дифференцируемость и дифференциал.Задача. Исследование на непрерывность, дифференцируемость и непрерывную дифференцируемость.
- Производная и дифференциал функции одной переменной
Понятие производной. Дифференцируемость.Свойства производной. Производная суперпозиции и обратной функции.Задача. Производная функции. Правила дифференцирования.Задача. Производная сложной функции 1.Задача. Производная сложной функции 2.Задача. Производная |x| и x^x.Задача. Производная неявной функции.Задача. Производная функции, заданной параметрически.Дифференциал функции.Задача. Дифференцируемость и дифференциал.Задача. Исследование на непрерывность, дифференцируемость и непрерывную дифференцируемость.
- Производные высших порядков
Производные высших порядков.Задача. Вычисление n-й производной с помощью метода математической индукции.Задача. Вычисление n-й производной.Задача. Вычисление n-й производной с помощью формулы Лейбница.
- Теоремы о среднем
Теорема Ферма.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.Правило Лопиталя.Задача. Применение теоремы Лагранжа.
- Частичные пределы. Критерий Коши
Принцип вложенных отрезков.Частичные пределы. Теорема Больцано — Вейерштрасса.Критерий Коши.
- Числовые множества
Вводные понятия.Действительные числа.Расстояния и окрестности.Точные грани числового множества.
- Формула Тейлора
Формула Тейлора. Мотивация и определения.Задача. Разложение функции по формуле Тейлора. Часть 1.Задача. Разложение функции по формуле Тейлора. Часть 2.Чётные и нечётные функции. Формулы Маклорена.Задача. Применение сдвига индексов в сумме для разложения по формуле Тейлора.Задача. Разложение функции по формуле Тейлора.
- Обратная функция. Равномерная непрерывность
Обратная функция.Равномерная непрерывность.
- Формула Тейлора
Формула Тейлора. Мотивация и определения.Задача. Разложение функции по формуле Тейлора. Часть 1.Задача. Разложение функции по формуле Тейлора. Часть 2.Чётные и нечётные функции. Формулы Маклорена.Задача. Применение сдвига индексов в сумме для разложения по формуле Тейлора.Задача. Разложение функции по формуле Тейлора.
- Частичные пределы. Критерий Коши
Принцип вложенных отрезков.Частичные пределы. Теорема Больцано — Вейерштрасса.Критерий Коши.
- Обратная функция. Равномерная непрерывность
Обратная функция.Равномерная непрерывность.
- Исследование функции одной переменной
Условия монотонности и локального экстремума.Выпуклость. Точка перегиба.Исследование функции. Алгоритм построения графика.Построение графика дробно-рациональной функции. Часть 1.Построение графика дробно-рациональной функции. Часть 2.Построение графика иррациональной функции от модуля. Часть 1.Построение графика иррациональной функции от модуля. Часть 2.Нахождение вертикальной асимптоты.Нахождение кривизны.Нахождение радиуса кривизны.
- Теоремы о среднем
Теорема Ферма.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.Правило Лопиталя.Задача. Применение теоремы Лагранжа.
- Предел числовой последовательности
Понятие числовой последовательности.Задача. Доказательство сходимости последовательности.Свойства предела. Переход к пределу в неравенствах.Свойства бесконечно малых последовательностей. Арифметические действия со сходящимися последовательностями.Задача. Нахождение предела дробно-рациональной последовательности.Задача. Нахождение предела.Задача. Нахождение предела с помощью теоремы о двух милиционерах.Задача. Нахождение предела с помощью домножения на сопряжённые.Монотонные последовательности.Задача. Нахождение предела рекуррентно заданной монотонной и ограниченной последовательности.
- Непрерывность функции в точке и на отрезке
Непрерывность функции в точке.Свойства функций, непрерывных в точке.Свойства функций, непрерывных на отрезке.Теорема Больцано — Коши.Задача. Непрерывность функции.Задача. Доопределение функции по непрерывности.
- Предел числовой последовательности
Понятие числовой последовательности.Задача. Доказательство сходимости последовательности.Свойства предела. Переход к пределу в неравенствах.Свойства бесконечно малых последовательностей. Арифметические действия со сходящимися последовательностями.Задача. Нахождение предела дробно-рациональной последовательности.Задача. Нахождение предела.Задача. Нахождение предела с помощью теоремы о двух милиционерах.Задача. Нахождение предела с помощью домножения на сопряжённые.Монотонные последовательности.Задача. Нахождение предела рекуррентно заданной монотонной и ограниченной последовательности.
- Исследование функции одной переменной
Условия монотонности и локального экстремума.Выпуклость. Точка перегиба.Исследование функции. Алгоритм построения графика.Построение графика дробно-рациональной функции. Часть 1.Построение графика дробно-рациональной функции. Часть 2.Построение графика иррациональной функции от модуля. Часть 1.Построение графика иррациональной функции от модуля. Часть 2.Нахождение вертикальной асимптоты.Нахождение кривизны.Нахождение радиуса кривизны.
- Предел функции. Свойства предела. Критерий Коши
Предел функции. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне.Задача. Предел функции.Задача. Применение определения предела по Гейне.Свойства предела функций.Задача. Нахождение пределов.Задача. Применение замечательных пределов.Критерий Коши.
- Числовые множества
Вводные понятия.Действительные числа.Расстояния и окрестности.Точные грани числового множества.
- Непрерывность функции в точке и на отрезке
Непрерывность функции в точке.Свойства функций, непрерывных в точке.Свойства функций, непрерывных на отрезке.Теорема Больцано — Коши.Задача. Непрерывность функции.Задача. Доопределение функции по непрерывности.
- Нахождение пределов функции с помощью формулы Тейлора и правила Лопиталя
Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Основной алгоритм.Нахождение пределов функций вида〖f(x)〗^(g(x)) с помощью формулы Тейлора.Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Типовая задача из экзамена. Часть 1.Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Типовая задача из экзамена. Часть 2.Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора с пренебрежением малыми членами.Правило Лопиталя.
- Нахождение пределов функции с помощью формулы Тейлора и правила Лопиталя
Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Основной алгоритм.Нахождение пределов функций вида〖f(x)〗^(g(x)) с помощью формулы Тейлора.Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Типовая задача из экзамена. Часть 1.Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора. Типовая задача из экзамена. Часть 2.Нахождение пределов с помощью формулы Тейлора с пренебрежением малыми членами.Правило Лопиталя.
- Предел функции. Свойства предела. Критерий Коши
Предел функции. Эквивалентность определений по Коши и по Гейне.Задача. Предел функции.Задача. Применение определения предела по Гейне.Свойства предела функций.Задача. Нахождение пределов.Задача. Применение замечательных пределов.Критерий Коши.
