Узнайте о свойствах графов и о том, как их исследовать. Научитесь строить такие структуры, анализировать их и находить ответ на любой вопрос. Вы сможете применять инструменты алгебраической теории графов для оптимального решения задач в химии, биологии, биоинформатике, физике, социологии, теории кодирования, криптографии и многих других областях.
- Спектральная теория графов
В этом модуле вы научитесь решать прикладные задачи, в которых применение спектральной теории графов даёт неожиданные результаты. Например, современные исследования в квантовой химии показывают удивительные связи между структурой химического соединения и спектральными свойствами его молекулярного графа. Вы узнаете, что собственные числа имеют даже конкретный физический смысл, на примере музыкальных барабанов. Помимо этого, увидите, как с помощью собственных чисел и векторов можно рисовать картинки, определять чемпионов в турнирах и доказывать какие-то свойства графов, даже не зная, как именно он выглядит. И хотя главным действующим лицом четвёртого модуля будет уже матрица Лапласа, мы всё же не забудем про матрицу смежности и поговорим о связи коэффициентов её характеристического полинома с локальной структурой графа. Вы узнаете, как переплетаются между собой собственные числа графа и его индуцированных подграфов.Алгебраическая теория графов в примерах.Матрица Лапласа.Спектральная визуализация и кластеризация.Теорема Перрона — Фробениуса и задача ранжирования.Характеристический полином и изоспектральные графы.О сплетении/чередовании собственных значений.Граница весового распределения и о чём ещё говорят графы.
- Схемы отношений и когерентные конфигурации
В заключительном модуле курса вы продолжите знакомство с самыми актуальными математическими вопросами и узнаете о таких понятиях, как схемы отношений и когерентные конфигурации. Однако при ближайшем рассмотрении быстро узнаете в них объекты, которые изучали ранее. А ещё вас ждёт встреча с алгебрами Боуза — Меснера и параметрами Крейна, новый взгляд на дистанционно-регулярные графы и возвращение к тому самому графу Мура, про который всё ещё неизвестно, существует он или нет. Вы научитесь с помощью разных методов описывать один и тот же объект и визуализировать его (например, цветными табличками и треугольниками или набором матриц). И конечно, уже точно будете знать, как проводить эксперименты наиболее удобным способом. Кстати, граф Петерсена тут тоже будет, но в новом амплуа.Отношения как разбиения.Схемы отношений на языке графов.Через мир матриц к дистанционно-регулярным графам.Алгебра Боуза — Меснера.Параметры Крейна, P- и Q-полиномиальность.Возвращение к графу Мура на 3250 вершинах.Когерентные конфигурации как обобщение схем отношений.Алгебраическая теория графов: что дальше?
- Графы и матрицы
В этом модуле вы узнаете, что графы есть абсолютно везде: в социальных сетях, поисковых системах и теории шести рукопожатий. Это значит, что множество вопросов можно перевести на язык графов. А где графы, там и их матрицы. Это и есть основа алгебраической теории графов. Мы сфокусируемся на матрицах смежности графов и их спектрах. Вы научитесь слышать, что говорят собственные числа графов, и видеть, в каких свойствах они себя проявляют. Познакомитесь с такими важными классами, как сильно регулярные и дистанционно-регулярные графы. Узнаете, как операции на графах меняют их спектры. Эти классы графов применяются в теории кодирования, теории комбинаторных дизайнов, квантовой теории информации и даже в финансовой сфере. Кроме того, вы овладеете различными приёмами поиска спектров графов без вычисления корней характеристических полиномов. А ещё познакомитесь со славной традицией использовать граф Петерсена в качестве примера или контрпримера.Что линейная алгебра говорит о графах.Собственные числа и векторы графов.Спектры некоторых графов.Спектры после операций над графами.Сильно регулярные графы.Дистанционно-регулярные графы.Практикум: считаем спектры.
- Основы алгебраической теории графов
Основная часть модуля посвящена базовым определениям и понятиям теории графов и теории групп. Вы также узнаете об истории развития этих математических дисциплин и о том, какие задачи лежали в их основе. Кроме того, научитесь решать задачи о перекладывании блинчиков и сборке кубика Рубика. А ещё узнаете про задачу поиска пути в лабиринте, которую решил Эдвард Мур, и про целый класс графов Мура.Вводное видео. О чём этот курс и как он устроен.Историческое развитие алгебраической теории графов.Базовые понятия теории графов.Дистанционно-регулярные графы.Графы Мура.Основы теории групп.Блинчиковый граф и биокомпьютер.Кубик Рубика.
- Спектральная теория графов
В этом модуле вы научитесь решать прикладные задачи, в которых применение спектральной теории графов даёт неожиданные результаты. Например, современные исследования в квантовой химии показывают удивительные связи между структурой химического соединения и спектральными свойствами его молекулярного графа. Вы узнаете, что собственные числа имеют даже конкретный физический смысл, на примере музыкальных барабанов. Помимо этого, увидите, как с помощью собственных чисел и векторов можно рисовать картинки, определять чемпионов в турнирах и доказывать какие-то свойства графов, даже не зная, как именно он выглядит. И хотя главным действующим лицом четвёртого модуля будет уже матрица Лапласа, мы всё же не забудем про матрицу смежности и поговорим о связи коэффициентов её характеристического полинома с локальной структурой графа. Вы узнаете, как переплетаются между собой собственные числа графа и его индуцированных подграфов.Алгебраическая теория графов в примерах.Матрица Лапласа.Спектральная визуализация и кластеризация.Теорема Перрона — Фробениуса и задача ранжирования.Характеристический полином и изоспектральные графы.О сплетении/чередовании собственных значений.Граница весового распределения и о чём ещё говорят графы.
- Графы и группы
Этот модуль посвящён связи между графами и группами. Вы узнаете, как возникают автоморфизмы на множествах вершин и рёбер, как транзитивность графов связана с их регулярностью, всякие ли вершинно-транзитивные графы являются графами Кэли, как графы Кэли возникают в других областях знаний — например, их активно используют в теории межкоммуникационных сетей. Мы также расскажем о том, как Ричард Хэмминг придумал первый компьютерный код с автоматическим исправлением ошибки и метрику, на основе которой строится целый класс графов.Группа автоморфизмов графа.Транзитивные и симметричные графы.Дистанционно-транзитивные графы.Графы Кэли.Схематическая связь между регулярными и транзитивными графами.Граф Хэмминга: дистанционно-транзитивный граф Кэли.Графы Джонсона: дистанционно-транзитивный граф, но не всегда граф Кэли.
- Спектр Star-графа и теория представлений симметрической группы
Продолжаем погружение в исследования современной математики и знакомимся с наиболее продвинутым модулем этого курса. Основной объект исследования в этом модуле — Star-граф — наиболее изучен в теории межкоммуникационных сетей. На его примере вы увидите связь между спектральной теорией и теорией представлений конечных групп. Научитесь работать со стандартными таблицами Юнга, представлением симметрической группы, элементами Юциса — Мёрфи, спектром Star-графа и поймёте, как вычислять кратности собственных значений.Star-граф и его основные свойства.Перестановки и их классы сопряжённости.Разбиения, цикловой тип перестановок и таблицы Юнга.Представление конечной группы.Представление симметрической группы через элементы Юциса — Мёрфи.Элементы Юциса — Мёрфи и спектр Star-графа.Формула крюка и кратности собственных значений.
- Спектр Star-графа и теория представлений симметрической группы
Продолжаем погружение в исследования современной математики и знакомимся с наиболее продвинутым модулем этого курса. Основной объект исследования в этом модуле — Star-граф — наиболее изучен в теории межкоммуникационных сетей. На его примере вы увидите связь между спектральной теорией и теорией представлений конечных групп. Научитесь работать со стандартными таблицами Юнга, представлением симметрической группы, элементами Юциса — Мёрфи, спектром Star-графа и поймёте, как вычислять кратности собственных значений.Star-граф и его основные свойства.Перестановки и их классы сопряжённости.Разбиения, цикловой тип перестановок и таблицы Юнга.Представление конечной группы.Представление симметрической группы через элементы Юциса — Мёрфи.Элементы Юциса — Мёрфи и спектр Star-графа.Формула крюка и кратности собственных значений.
- Схемы отношений и когерентные конфигурации
В заключительном модуле курса вы продолжите знакомство с самыми актуальными математическими вопросами и узнаете о таких понятиях, как схемы отношений и когерентные конфигурации. Однако при ближайшем рассмотрении быстро узнаете в них объекты, которые изучали ранее. А ещё вас ждёт встреча с алгебрами Боуза — Меснера и параметрами Крейна, новый взгляд на дистанционно-регулярные графы и возвращение к тому самому графу Мура, про который всё ещё неизвестно, существует он или нет. Вы научитесь с помощью разных методов описывать один и тот же объект и визуализировать его (например, цветными табличками и треугольниками или набором матриц). И конечно, уже точно будете знать, как проводить эксперименты наиболее удобным способом. Кстати, граф Петерсена тут тоже будет, но в новом амплуа.Отношения как разбиения.Схемы отношений на языке графов.Через мир матриц к дистанционно-регулярным графам.Алгебра Боуза — Меснера.Параметры Крейна, P- и Q-полиномиальность.Возвращение к графу Мура на 3250 вершинах.Когерентные конфигурации как обобщение схем отношений.Алгебраическая теория графов: что дальше?
- Графы и группы
Этот модуль посвящён связи между графами и группами. Вы узнаете, как возникают автоморфизмы на множествах вершин и рёбер, как транзитивность графов связана с их регулярностью, всякие ли вершинно-транзитивные графы являются графами Кэли, как графы Кэли возникают в других областях знаний — например, их активно используют в теории межкоммуникационных сетей. Мы также расскажем о том, как Ричард Хэмминг придумал первый компьютерный код с автоматическим исправлением ошибки и метрику, на основе которой строится целый класс графов.Группа автоморфизмов графа.Транзитивные и симметричные графы.Дистанционно-транзитивные графы.Графы Кэли.Схематическая связь между регулярными и транзитивными графами.Граф Хэмминга: дистанционно-транзитивный граф Кэли.Графы Джонсона: дистанционно-транзитивный граф, но не всегда граф Кэли.
- Графы и матрицы
В этом модуле вы узнаете, что графы есть абсолютно везде: в социальных сетях, поисковых системах и теории шести рукопожатий. Это значит, что множество вопросов можно перевести на язык графов. А где графы, там и их матрицы. Это и есть основа алгебраической теории графов. Мы сфокусируемся на матрицах смежности графов и их спектрах. Вы научитесь слышать, что говорят собственные числа графов, и видеть, в каких свойствах они себя проявляют. Познакомитесь с такими важными классами, как сильно регулярные и дистанционно-регулярные графы. Узнаете, как операции на графах меняют их спектры. Эти классы графов применяются в теории кодирования, теории комбинаторных дизайнов, квантовой теории информации и даже в финансовой сфере. Кроме того, вы овладеете различными приёмами поиска спектров графов без вычисления корней характеристических полиномов. А ещё познакомитесь со славной традицией использовать граф Петерсена в качестве примера или контрпримера.Что линейная алгебра говорит о графах.Собственные числа и векторы графов.Спектры некоторых графов.Спектры после операций над графами.Сильно регулярные графы.Дистанционно-регулярные графы.Практикум: считаем спектры.
- Основы алгебраической теории графов
Основная часть модуля посвящена базовым определениям и понятиям теории графов и теории групп. Вы также узнаете об истории развития этих математических дисциплин и о том, какие задачи лежали в их основе. Кроме того, научитесь решать задачи о перекладывании блинчиков и сборке кубика Рубика. А ещё узнаете про задачу поиска пути в лабиринте, которую решил Эдвард Мур, и про целый класс графов Мура.Вводное видео. О чём этот курс и как он устроен.Историческое развитие алгебраической теории графов.Базовые понятия теории графов.Дистанционно-регулярные графы.Графы Мура.Основы теории групп.Блинчиковый граф и биокомпьютер.Кубик Рубика.
-
Цена - 3 000 руб.
- Продолжительность курса составляет 12 часов
